無料塾/小中高大一般等募集中/場所時間ご相談/学習受験等/作文プレゼンも/入試問題等解説発信/大学[院]生活案内/小張木学習クラブ (投稿ID : 9h3rm)

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更新2024年3月10日 09:44
作成2024年1月16日 18:15
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updated:▼MAR9/♣MAR3/♠FEB16 ▼解説 2023 新潟県公立高入試【数学】【5】空間図形
●小張木学習クラブは、なにかのお役に立てればと、2018年8月25日に開設/手持ちの情報・経験を無料提供/気軽にご連絡下さい。
 ●対象:小中高大学[院]等での学習・受験・作文・プレゼン等なんでも疑問・質問をお持ちのどなたでも
 ●International students & people from different countries are also welcomed and advised in English
 ●費用:無料(教材等各自でご用意を/教材相談OK)
 ●連絡先:E-mail/Tel 080-3520-7841[Line可] /ご希望の内容・時間・場所等のご連絡を(返信があるまで)
 ●場所・時間:ご相談の上、希望者の多い順に決定/例えば ▲小張木自治会館(江南高校裏へ徒歩5分/角地/駐車場有/2階建/2階和室[8+10]畳/自治会により会場費免除/〒950-0942 新潟県新潟市中央区小張木3丁目9-14 / https://www.mapion.co.jp/phonebook/M13007/15103/21530251008
▲県立図書館(火~金9:30~19:00/土・日・祝9:30~17:00) ▲鳥屋野地区公民館(月~土9:00~21:30/日・祝9:00~17:30) ▲りゅーとぴあ(新潟市民芸術文化会館/9~22時/第2・4月曜休) ▲NEXT21(新潟市中央区西堀通6番町866番地/8時半~21時) ▲遠方(県立図書館から5km程度以上)では交通費実費をお願い/上記の時間等は変更された可能性あり
 ●内容:例えば【学習/受験】《基礎》数学(算数)/物理・化学(理科)/英語/国語/社会/線形代数/微分積分/ベクトル解析等;《専門》流体力学・流体工学 特に 回転流体力学/層流乱流遷移/流体中の微粒子運動/地球流体力学(大気と海洋の流れ) 【大学[院]生活】国立大学(工学系)の具体的な紹介:例えば、入試室・会場での様子/奨学金/授業料免除/カリキュラム・シラバス/単位修得/留年・休学/ 成績評価GPA(Grade Point Average)・GPT(Grade Point Total)への対応/修士・博士課程への進学/卒論・修論・博士論文等の作成・発表 【その他(初心者向け)】科学論文の書き方、口頭発表法(プレゼン)、インターネット・パソコンソフト(ワード、パワーポイント、一太郎等)の使い方(パソコン等をご持参)
 ●学習の進め方:質問時に問題と解答途中までの要点と質問内容の詳細の提示/質問がない場合は、理解度の確認のため学習内容の要点の提示/最後に学習の自己評価(家族による評価も)
 ●助言方針:公式とかの暗記は最小限に、それからいつでもすばやく展開・導出できるよう助言/答の導出過程を重視/ヒントを与えて自ら答に到達できるよう助言
 ●ここでの解説(図等の省略、色なし、文字化けあり)や新潟県立高校(2022/2019~2015)/共通テスト(まだ2022の一部)・新潟大学(2020~2013)・東京大学(2021-2022文系)の入試問題の数学解説などのword file(図付き、色付き、文字化けなし)あるいは一太郎 file(Wordから変換のため文字化け有)を無料配信/希望者あるいはご質問等がおありの方はご連絡を

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◆【問題】2023新潟県高校入試【数学】【5】空間図形 16点 10.9%
【5】下の図のような立体ABC-DEFがあり,四角形ABEDは,BA=5 cm,BE=10 cmの長方形であり.△ABCと△DEFは正三角形である。また,辺BEと辺CFは平行であり,CF=5 cmである。点Cから辺BEに引いた垂線と辺BEとの交点をPとするとき,次の(1)~(3)の問いに答えなさい。【図省略】
 (1) 線分CPの長さを答えなさい。
 (2) 5点C,A,B,E,Dを結んでできる四角すいの体積を求めなさい。
 (3) 4点A,B,C,Fを結んでできる三角すいの体積を求めなさい。

◆【ヒント】2023新潟県高校入試【数学】【5】空間図形 16点 10.9%
 H50【3】(1)/(2)/(3) 5/6/5点 25.4/7.2/0.9% 空間図形では、立体の空間把握のため正面図と平面 図(下の図50)を画くとよい。そうすると、立体ABC-DEFは、題意により横倒しの仮想三角柱ABS-DET(S、Tは追加した頂点)からS、Tの角部のそれぞれ三角すいABSC、DETF(左右の両者は対称)を切り落としたもので、二つの対称面X、Yをもつことが分かる。なお、図中の追加点N、M、Qについて、Nは辺ABの中点、MはCから長方形ABEDに下ろした垂線の足、QはCから辺ADに下ろした垂線の足を示す。また、[ ]内は紙面に垂直に奥のほうにある点、< >内は辺の長さ(便宜上、u=5/2 cmを単位として)を示す。
 
【平面図】 対称面Y
A <u> Q <3u> D

<u> <u>

対称面X S[N] C[M] F T X

<u> <u>

   B  <u>  P <3u> E
 
S <u> C <2u> F <u> T






B[N,D] <u> P[M,Q] <3u> E[D]
【正面図】 対称面Y
 
 図50 立体ABC-DEFの正面図と平面図(追加したS、Tは仮想三角柱ABS-DETの頂点;Nは辺ABの中点;M、QはCからそれぞれ長方形ABED、辺ADへの垂線の足;[ ]内は紙面に垂直に奥のほうにある点;< >内はu=5/2 cmを単位とした辺の長さ)

 H51【5】(1) 5点 25.4% 線分CPの長さを求めるため、CPを辺にもつ直角三角形CBPに注目。
 H52【5】(2) 6点 7.2% ポイントは四角すいの高さCMの求め方。CMを辺にもつ直角三角形CPM(あるいはCNM)に注目。
 H53【5】(3) 5点 0.9% 三角すいの体積を求めるポイントは、底面[相当]並びにそれに垂直な高さの選び方にあり。

◆【解説】2023新潟県高校入試【数学】【5】空間図形 16点 10.9%
 S51【5】(1) 5点 25.4%★ <510> CP=5√3/2 cm の導出★
直角三角形CBP(図51参照)に注目すると、辺CPの長さは、辺BC、BPの長さが分かれば三平方の定理により求められる。まず、BCは正三角形ABCの辺であるので、<511> BC=BA=5=2u。ここで、長さの単位として
<512> u=5/2 [cm] を用いている。次に、BPは以下に示すように四角形CBEFが等脚台形であることから求められる。辺EFは、上述の辺BCと同様正三角形△DEFの辺であるので、 <513> EF=ED=5=2u。よって、
<514> BC=EF(=2u) [cm]となり、四角形CBEFは等脚台形。したがって、<515> BP=(BE-CF)/2=(4u-2u)/2=u。よって、直角三角形CBPについての三平方の定理により、
<516> (0<) CP=√(BC**2-BP**2)=√{(2u)**2-u**2)}=(√3)u=(√3)×5/2
=5√3/2 [cm]。
 なお、四角形CADFも四角形CBEFと同様に等脚台形となることが示されるので、結局、立体ABC-DEFは図50に示したように二つの対称面X、Yをもつ。
    <2u>

<2u> <2u>
【<(√3)u>】


<u>    <2u>   <u>
 図51 四角形CBEF(等脚台形)上の直角三角形CBP

 S52【5】(2) 6点 7.2% ★ <520> 四角すいCABEDの体積 
V<4>=125√2/3 cm**3 の導出★
四角すいCABEDの体積V<4>を求めるには、図52に示す底面の面積S<4>と高さh<4>が必要。まず、S<4>は、底面が長方形ABEDであるので、
<521> S<4>=2u×4u。次に、高さh<4>は、図52に示すようにCから長方形ABEDに下ろした垂線の足をM(←Hから変更)とするとCMであり、これを、CMを辺にもつ直角三角形CPM(あるいはCNMでもよい)についての三平方の定理から求めよう。CMは前問で求めているので、あとはPMを求めればよい。ここで、QをCから辺ADに下ろした垂線の足とすると、QとPは図50に示した対称面X(CMを含む)について対称位置にあるので、
<522> PM=QM=2u/2=u。よって、直角三角形CPMについての三平方の定理により
<523> (0<) [h<4>=] CM=√(CP**2-PM**2)=√{(√3)u}**2-u**2)}=(√2)u。
ゆえに、四角すいCABEDの体積V<4>は、
<524> V<4>=(1/3)×S<4>×h<4>=(1/3)×(2u×4u)×(√2)u
=(8√2/3)u**3=(8√2/3)×(5/2)**3=125√2/3 [cm**3]。
<523>のCMの検算例 CMは、これを辺にもつ直角三角形CNMについての三平方の定理からも求められる。まず、CNは一辺が2uの正三角形ABCの高さなので、<525> (0<) CN=(√3)u。次に、NMは<515>のBPに等しいので、<526> NM=BP=u [cm]。よって、直角三角形CNMについての三平方の定理により、
<527> (0<) [h<4>=] CM=√(CN**2-NM**2)=√{(√3)u}**2-u**2)}=(√2)u。 これは<523>に一致。OK。

X
h<4>=CM          h(4)=CM
<(√3)u>

S<4>
   ↑M
M→   <2u> <4u>
         X
 図52 四角すいCABEDの底面積S<4>と高さh<4>

 S53【5】(3) 5点 0.9% ★ <530> 三角すいABCFの体積:
V<3>=125√2/12 cm**3 の導出★
 底面[相当]並びにそれに垂直な高さの選び方について、底面の選択を主体にして考えよう(図53参照)。まず、底面を三角すいABCFの表面とする場合、すなわち①正三角形ABC、②二等辺三角形AFB、③二等辺三角形ACFあるいは④二等辺三角形BCFとする場合、これらに垂直な高さは容易に求められない。次に、底面を三角すいABCFの表面以外にする場合、例えば三角すいの対称面の△CFNとする場合、これに垂直な高さはABとなる。すなわち、三角すいABCFが二つの三角すいCFNB、CFNAからなると考えれば、三角すいABCFの高さh<3>は <531> h<3>=AN+BN=AB=2u となる。そして、底面の△CFNの面積S<3>は、図50の正面図から明らかなように
<532> S<3>=(1/2)×CF×CM=(1/2)×2u×(√2)u。よって、
<533> V<4>=(1/3)×S<3>×h<3>=(1/3)×{(1/2)×2u×(√2)u}×2u
=(2√2/3)u**3=(2√2/3)×(5/2)**3=125√2/12 [cm**3]。
<530>、<533>のV<4>の検算例 図50から明らかなように前述の横倒しの仮想三角柱ABS-DET(S、Tの角部のそれぞれ三角すいABSC、DETFを切り落とす前)の底面ASB(その面積をS<ASB>とする)とFS、FCは垂直である。この関係を利用すると、V<4>は以下のように求められる。ただし、それぞれ三角すいABSC、ABSFの体積をV<ABSC>、V<ABSF>とする。
<534> V<ABSF>=V<ABSC>+V<4>。ここで、
<535> V<ABSF>=(1/3)×S<ASB>×SF、V<ABSC>=(1/3)×S<ASB>×SC、
S<ASB>=(1/2)×AB×SN=(1/2)×AB×CM。よって、
<536> V<4>=V<ABSF>-V<ABSC>=(1/3)×S<ASB>×SF-(1/3)×S<ASB>×SC
=(1/3)×{(1/2)×AB×CM}×(SF-SC)
=(1/3)×{(1/2)×2u×(√2)u}×2u
=(2√2/3)u**3=(2√2/3)×(5/2)**3=125√2/12 [cm**3]。これは<533>に一致。OK。

<2u>


S<3>




h<3>=<2u>


 図53 三角すいABCFの底面積S<3>と高さh<3>

♠◆2024.3.3 解説 2023新潟県高校入試【数学】【3】関数【4】整数
◆2024.2.16 解説 2023新潟県高校入試【数学】【2】小問集合2 18点 39.2%
◆2023.8.28 解説 2022新潟県公立高入試【数学】【4】平面図形、【5】空間図形
[図等の省略なしは以下を参照 令和4(2022)年度 新潟県公立高校入試【数学】問題、正答表、配点 http://homepage1.canvas.ne.jp/ynaka/R4PDF/15niigata.pdf ]
◆2023.4.2 ●解説 2022 新潟県公立高入試【数学】【1】(1)~(8) 小問集合1
◆2023.1.13 2022 ●共通テスト数学I・A【必答問題・解説】【1】[1](1)~(2)/[2]/[3](1)~(2) 【2】[1](1)~(4)

直接/仲介 直接
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