無料塾/無料配信(新大&高校過去問解説)掲載例有/小中高大院一般向(教職36年)江南高歩5分/小張木学習クラブ/土曜15:30-18:30/現在お休み中/ (投稿ID : 9h3rm)

更新2020年5月13日 22:03
作成2020年4月23日 01:17
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●小張木学習クラブ★再開希望者は、希望日の前日までに(当日は電話で)ご連絡を。♠コロナによる休校分の授業も可。現在少人数→保護者等同伴可。♪●2015新潟県立高校入試問題 数学 解答解説 配信開始 updated:♪April 29、★April 7, ♣March 24,♥March 7,2020
●受講希望者は教材等をもって自治会館2階まで ●2019~2017新潟大学・高校入試問題用意(他の年度は今後準備)。●新潟大学以外で解答解説のご希望があればメールを(今後準備予定<準備時点で希望が多い順>)
●新潟大学・新潟県立高校 入試問題 解答解説(各4頁程度、■記載例■ は最後尾)無料配信中 希望者は以下のようなE-mailをお願いします(2020.4.2 当該の問題・解答は下記の公開web-siteのURL/linkをご覧下さい)。
□□□□年度[新潟県立高校/新潟大学]入試問題 数学 解答解説[Word/一太郎/・・・ ]希望(Word以外は文字化けの可能性大)。

♪●2020.4.29:2015(H27)新潟県立高入試 数学 解答解説。問題・解答
https://matome.naver.jp/odai/2134101726741034301?page=2
★●2020.4.7:2016(H28) 前期 新潟大学入試問題 数学 解答解説。問題・解答https://passnavi.evidus.com/search_univ/0350/kakomon.html?department=040&nendo=2016#ttl-anchor
♣●2020.3.23:2016(H28)新潟県立高入試問題 数学 解答解説。問題・解答https://matome.naver.jp/odai/2134101726741034301?page=2
♥●2020.3.7:2017(H29)前期 新潟大学入試問題 数学 解答解説。問題・解答https://passnavi.evidus.com/search_univ/0350/kakomon.html?department=040&nendo=2017#ttl-anchor
●2020.2.23:2017(H29)新潟県立高入試問題 数学 解答解説。問題・解答https://resemom.jp/feature/public-highschool-exam/niigata/2017/
●2020.2.9:2018(H30)前期 新潟大学入試問題 数学 解答解説。問題・解答https://passnavi.evidus.com/search_univ/0350/kakomon.html?department=040
●2020.1.24:2018(H30)新潟県立高入試問題 数学 解答解説。問題・解答
https://resemom.jp/feature/public-highschool-exam/niigata/2018/
●2020.1.10:2019(H31)前期 新潟大学入試問題 数学 解答解説。問題・解答
https://passnavi.evidus.com/search_univ/0350/kakomon.html?department=040
●2019.12:2019(H31)新潟県立高入試問題 数学 解答解説。問題・解答 https://sabotensabo.com/wp-content/uploads/2019niigata.pdf

●無料塾 小張木学習クラブ ●費用:無料(教材等は各自でご用意下さい、教材相談 OK)
●対象:小、中、高、大、社会人等、どなたでも科目の学習や受験勉強等で質問をお持ちの方(人数超過の場合は優先順位有)
●科目等:【基礎】数学(算数)、物理・化学(理科)、英語、国語、社会、線形代数、微分積分、ベクトル解析等;【専門】流体力学・流体工学、特に回転流体力学、層流乱流遷移、流体中の微粒子運動、遠心分級(科研費等の研究テーマでした)、地球流体力学(大気と海洋の流れ)【その他(初心者向け)】科学論文の書き方、口頭発表法(プレゼン)、インターネット・パソコンソフト(ワード、パワーポイント、一太郎等)の使い方(パソコン等をお持ち下さい)
●場所・日時:小張木自治会館(角地、駐車場有、2階建て)2階和室[8+10]畳 〒950-0942 新潟県新潟市中央区小張木3丁目9-14 江南高校の裏側徒歩5分、https://www.mapion.co.jp/phonebook/M13007/15103/21530251008/
毎土曜15:30-18:30(日時の変更は自治会館が空室で現会員と合意のもとで可能)
★●こばりのき自治会から、2020年4月以降の会場費を免除いただけることになりました。お礼申し上げます。
★●会員希望者は当日直接自治会館においで下さい。Xご連絡不要 → → 現在原則お休み中ですので、必ずご連絡を。
●問い合わせ先: ◆Tel 080-3520-7841◆ またはメールで。

●「あれ?あれ?」の種明かし:ヒントは水の透明具合。ワニやんのマジックなどではなく、流れ落ちる水の中心部分に透明な配管がなされており、水を上向きに供給。
●出前塾(試行)も可能:場所の提供(県立図書館から5km程度以上遠い場合は交通費負担も)と、ある程度の人数集めをお願いします(こちらからジモティーで募集も可能)。日時等をご相談の上、決定します。出前塾希望者はお問い合わせ下さい。

●学習の進め方:質問時には、問題と解答途中までの要点、質問内容の詳細を言って下さい。質問がない場合は、理解度を確認しますので、学習内容の要点を言って下さい。最後に、1週間の学習の自己評価を(家族による評価も)行ってもらいます。
●助言方針▲公式とか暗記したこととかを忘れても、なぜそのようになるのか等の最小限のことだけは忘れないように覚え、いつでもそれから公式等を導き出せるように助言。
▲答を直接教えるのではなく、できるだけヒントを与えて自ら答に到達できるように助言。
▲問題集を用意する場合は、簡単なもの(80点以上とれる)だけにせず、脳の可能性を高める難しい問題(50点もとれない)にもチャレンジするように助言。
▲力があるのに難問に挑戦しないので、今後、新潟県の高校入試問題や新潟大学の入試問題をやってもらい、解説する予定です。問題は事前にここに掲示予定です。
●その他▲大学[院]生活(工学系)の具体的な紹介可能。例えば、入試室・会場での様子、奨学金、授業料免除、カリキュラム、修士課程への推薦入学、卒論、修論等の作成・発表、(課程・論文)博士号の取得。
▲教えてもらう人のお勧めの選び方・条件:大学院の修士課程への推薦をもらった。これは、試験免除で、成績上位2割程度の人が、就職希望者も、もらう。能力があり、熱心に勉強すればもらえる。学会等の論文発表・投稿を行った。会員でなくても連名で可能な場合が多く、興味をもって研究を行い、プレゼン・論文の書き方の能力向上を希望した人のはず。

●主な学習内容等の履歴・お勧めサイト(2018年8月25日開始;[公開Web-siteの例のURL/linkや題目];難しいものはかみくだいて説明)[掲示量が限界にきているため、初期のものを削除しました]
◆68/2020.2.22【中1:1名】●数学:国際単位系の基本単位m(長さ)、kg(質量)、<秒>s(時間);国際単位系の接頭辞:デカ(×10)、ヘクト(×100)、キロ(×1 000<千>)、メガ(×1 000 000<百万>)、ギガ(×1 000 000 000<十億>)、テラ(×1 000 000 000 000<一兆>);デシ(×1/ 10)、センチ(×1/ 100)、ミリ(×1/ 1 000<千分の一>)、マイクロ(×1/ 1 000 000<百万分の一>)、ナノ(×1/ 1 000 000 000<十億分の一>)、ピコ(×1/1 000 000 000 000<一兆分の一>) [https://ja.wikipedia.org/wiki/SI%E6%8E%A5%E9%A0%AD%E8%BE%9E]  ●英語:5文型並びに自動詞と他動詞[https://www.englishcafe.jp/kaisoumae/english3rd/ad1.html]

■記載例■ (ここでは文字化け有り)
♪●2015(H27)年度新潟県立高校入試問題 数学 記載例
[6] 直方体、空間上の2直線の交わり・平行、ねじれの位置、
同一平面上、三平方の定理、直角三角形の斜辺、三角形の合同条件
配点15点 誤答率 %.
【記号の定義】
S○:図形○の面積
T:点Pを通り辺ABに平行な直線と、辺ADの交点、つまり、
点Pから辺ABにおろした垂線の足
U:点Rを通り辺HGに平行な直線と、辺FGの交点、つまり、
点Rから辺FGにおろした垂線の足
[6](1) 配点4点 誤答率27%
【要¬点:ねじれの位置にあるとは同一平面上にないということ;空間上
の2直線がねじれの位置にある場合、2直線は同一平面上にない
ので、交わることなくかつ平行でもない;換言すれば、空間上の
2直線がねじれの位置にない場合は、2直線が同一平面上にあり、
交わるかあるいは平行;ここで、直線が線分のように与えられる
ときは、それを含む直線(すなわち端がなく無限に続くまっすぐな
線)で考慮、また、平面が区切られた平面のように与えられるときは、
それを含む平面(すなわち端がなく無限に続く平らな面)で考慮;
したがって、ねじれの位置にある2直線を見つける場合、ねじれの
位置にない2直線すなわち同一平面上にあって、交わるかあるいは
平行な2直線を見つけて、それを除外するとよい】
S11 直線AB(線分ABではなく、点A、Bを通る直線)とねじれの位置に
  ある直線を見つけるため、ねじれの位置にない直線すなわち同一
平面上にあって、交わるか(○)あるいは平行な(○)直線を見つけて
除外する。本問では、下記の考察により、★イ、★エの直線が、
直線ABとねじれの位置にある。
      直線ABと 交わる(どこで)?  平行(どの平面上で)?
ア直線BF    ○(B)     ×
★イ直線FP   ×  ×  
ウ直線PD ○(□ABCDを含む平面上) ×
★エ直線QD     ×         ×  
オ直線GH     ×      ○(□ABGHを含む平面上)
[6](2) 配点4点 誤答率53%
【要¬点:求めるもの(線分PD、PR)が含まれる特別な平面図形、例えば
直角三角形、正三角形、長方形、正方形を選んで、考えるとよい】
S21 線分PRを含む特別な平面図形として直角三角形PCDを選ぶ。ここで、
明らかに∠C=90°。題意によりPC=BC-BP=6-2、CD=2であるので、
三平方の定理(ピタゴラスの定理)により、<21> 0<PD=√(PC2+CD2)
=√{(6-2)2+22}=√{(22×22)+22}=2√(22+1)=2√5。
S22 線分PRを含む特別な平面図形として長方形PURTを選ぶ。□PURTが
長方形である理由は、これが、長方形PCDTを線分PT回りに回転
させて作られる長方形の一部であるから。よって、△PURは∠U=90°
の直角三角形であるので、斜辺PRは、三平方の定理及び題意により、
<22> 0<PR=√(PU2+UR2)=√{(2√2)2+22}=√{(22×2)+22}=2√(2+1)
=2√3。ここで用いられたPUの値2√2は、PUが題意により直角
二等辺三角形である△PQRの斜辺であることから、三平方の定理に
より求められた値すなわち0<PU=√(PQ2+QU2)=√(22+22)=2√(1+1)
=2√2。
S23 線分PRを求める別解として、△PQRが∠Q=90°の直角三角形である
ことを利用しよう。直角三角形である理由は、△PQRが、直角
三角形PQGを線分PQの回りに回転させて作られる直角三角形の一部
であるから。よって、直角三角形PQRの斜辺PRは、三平方の定理
及び題意により、<22> 0<PR=√(PQ2+QR2)=√{22+(2√2)2}
=√{22+(22×2)}=2√(1+2)=2√3。ここで用いられたQRの値2√2は、
QRが題意により直角二等辺三角形である△QURの斜辺であるから、
三平方の定理により求められた値すなわち0<QR=√(QU2+UR2)
=√(22+22)=2√(1+1)=2√2。
[6](3) 配点3点 誤答率93%★
【要¬点:∠PRDが求まるためには、この角を含む△PRDが特別な三角形、
例えば直角三角形、正三角形、と考えられるので、どんな三角形か
を調べよう】
S31 △PRDの2辺PD、PRの長さは(2)より<21> PD=2√5、<22> PR=2√3。
残りの1辺DRは、題意により直角二等辺三角形である△DRHの
斜辺であるので、三平方の定理により、<31> 0<DR=√(DH2+HR2)
=√(22+22)=2√(1+1)=2√2。よって、<21> 、<22> 、<31> により、
PD:PR:DR=2√5:2√3:2√2。したがって、PR2+DR2=(2√3)2
+(2√2)2=22(3+2)=(2√5)2=PD2。これは、△DRHの3辺が三平方の
定理を満たしていることを示す。すなわち、△DRHは、PDが斜辺、
<32> ∠PRD=90°の直角三角形であることを示す。
[6](4) 配点4点 誤答率99%★
【要¬点:△FPDと△FQDは、FDを共通の底辺としてもち得るが、各高さ
が不明であり、両三角形の面積比を高さの比で求められない;
そこで、両者の面積を個別に求めよう】
S31 まず、△FPDの面積S△FPDについて。この三角形がもしも特別な
三角形、例えば直角三角形、正三角形、ならば、その面積を直接的
に求められる。△FPDは明らかに正三角形ではないが、∠DPF=90°の
直角三角形のように見える。しかしながら、∠DPF>90°。その理由は
以下のように□PFRDが平行四辺形であり、PD//FRによる錯角の相等
により、∠RPF=∠PRD=<32> =90°。ゆえに、90°=∠RPF<∠DPF。□PFRD
が平行四辺形である理由は、題意により△PFQ≡△DRHであり(合同
条件は、FQ=RH、QP=HD、∠FPQ=∠RHD=90°の2辺挟角相等)、PF=DR、
PF//DRによる。
S32 そこで、△FPDの面積S△FPDを間接的に求めることを考えよう。
例えば、△FPDと⑪合同な三角形、⑫合同ではないが、底辺と高さ
が同じ三角形を探す。⑪の候補としては、△DRFがある(三角形の
合同条件は、平行四辺形FPDRの性質に起因する2角挟辺相等)。
ここで、△DRFの面積は直接的に求められないが、△DRFに対する
上記⑫の候補として、△DRP(底辺DRは共通)がある。△FPDに
対する上記⑫の候補としても、△DRP(底辺DPは共通)がある。
ここで、△DRPの面積S△DRPは、<32> より ∠PRD=90°であるので、
S△DRP=PR×DR/2=(2√3×2√2)/2=2√6。よって、
<33> S△FPD= S△DRP=2√6。
S33 次に、△FQDの面積S△FQDについて。この面積は、明らかに直接的に
求められない。そこで、間接的に求められかを検討。まず、△FQD
と⑪合同な三角形はないので(新たに作ってもよいが大変)、△FQD
と⑫底辺と高さが同じ三角形を探す。もしもQDやDFを底辺と
すると、高さが簡単に求められない。一方、FQを底辺として、
(底辺FQに垂直な)高さを、△FQDと同一平面上すなわち□AFGD上で
探すと、AFあるいはDGがある。ここで、∠AFG=∠DGF=90°の理由は、
□AFGDが長方形BFGCを線分FG回りに回転させて作られる長方形を
含む長方形であるから。高さAF、DGは簡単に求められて、題意及び
三平方の定理により、0<AF=DG=√(22+22)。したがって、
<34> S△FQD=FQ×AG/2={2×√(22+22)}/2={2×2√(1+1)}/2=2√2。
S34 <33> 、<34> より、S△FPD/S△FQD=2√6/(2√2)=√(6/2)=√3。

♪●新潟大学 2016年度 前期日程 入試問題 記載例
[2] B ベクトルと図形(平面)、位置ベクトル、内分、外分、余弦定理、
一次独立のベクトル、メネラウスの定理、単位ベクトル、正射影、
内積、ベクトルとベクトルの垂直
【記号の定義】
ベクトル<vector>を示す 矢印 → は省略
[2](1)
【要点: <11> |b-a|2=(b-a)・(b-a)を利用して、a・bを求める】
S11 <11>より、<12> |b-a|2=(b-a)・(b-a)=b・b-2b・a+a・a
=|b|2-2b・a+|a|2。
S12 題意より、<13> |a|=OA=5、|b|=OB=6、|b-a|=AB=7。したがって、
<12>に<13>を代入して、72=62-2b・a+52。ゆえに、ベクトルa、bの
内積[スカラー積、ドット積]は、
<14> a・b=b・a=(62+52-72)/2=(36+25-49)/2=12/2=6。
[2](1)別解
【要点:△OABに余弦定理を適用して、a・b=(OA)(OB)cos∠AOB
を求める】
S13 余弦定理AB2=OA2+OB2-2(OA)(OB)cos∠AOBにより、
<15> |b-a|2=|a|2+|b|2-2a・b。
S14 題意より、<16> |a|=OA=5、|b|=OB=6、|b-a|=AB=7。したがって、
<15>に<16>を代入して、72=52+62-2a・b。ゆえに、
<17> a・b=b・a=(52+62-72)/2=(25+36-49)/2=12/2=6。
[2](2)
【記号の定義】
  k(≠0):線分PQの内分点Rの位置を決めるスカラー(実数)の
未知数;<21> PR:RQ=k:(1-k)
p、q、r:位置ベクトルOP、OQ、OR
y(≠0):線分ABの内分点Rの位置を決めるスカラー(実数)の
未知数;<22> AR:RB=y:(1-y)
【要点: <21>、<22>の未知数k、yは、点Rが線分PQ、ABの内分点で
あること、a、bが一次独立のベクトルであることから求められる】
S21 <21>で表すように、点Rが線分PQをk:(1-k)に内分する点として、
題意によるp=ta、q=b/(1-t)を用いると、
<23> r={(1-k)p+kq}/{k+(1-k)}=(1-k)(ta)+k{b/(1-t)}
={(1-k)t}a+{k/(1-t)}b。よって、未知数kが決定できれば、
<23>により、rが求められる。
S22 <22>で表すように、点Rが線分ABをy:(1-y)に内分する点とする
と、<24> r={(1-y)a+yb}/{y+(1-y)}=(1-y)a+yb。
S23 <23>、<24>のrを等置して、r={(1-k)t}a+{k/(1-t)}b=(1-y)a+yb。
すなわち、[{(1-k)t}-(1-y)]a+[{k/(1-t)}-y]b=0。ここで、a、bは
一次独立のベクトルであるので(a//bでない)、
<25> {(1-k)t}=(1-y)、<26> {k/(1-t)}=y。この両式から、未知数
kを決定するため、未知数のyを消去する。すなわち、<26>のyを
<25>に代入して、(1-k)t=1-{k/(1-t)}。両辺に(1-t)をかけて、
(1-t){(1-k)t}=(1-t)-k、ここで、kについてまとめると、
{-(1-t)t+1}k=(1-t)-(1-t)t。よって、<27> k=(t2-2t+1)/(t2-t+1)。
なお、yは、<26>に<27>のkを代入して、以下のように求められる。
y={k/(1-t)}={(t2-2t+1)/(t2-t+1)}/(1-t)=(1-t)/(t2-t+1)。
S24 したがって、rは、<23>のrに<27>のkを代入して、
<28> r={(1-k)t}a+{k/(1-t)}b
=[1-{(t2-2t+1)/(t2-t+1)}]ta+[{(t2-2t+1)/(t2-t+1)}/(1-t)]b
=[{(t2-t+1)-(t2-2t+1)}t/(t2-t+1)}]a+{(1-t)/(t2-t+1)}b
={t2/(t2-t+1)}a+{(1-t)/(t2-t+1)}b。
[2](2) 別解
【記号の定義】
  L:点P、R、Qをとおる直線
y(≠0):線分ABの内分点Rの位置を決めるスカラー(実数)の
未知数;<29> AR:RB=y:(1-y)
【要点:<29>の未知数yを決定するため、メネラウスの定理<Menelaus'
theorem、例えば、https://rikeilabo.com/menelauss-theorem&gt;
を利用】
S25 点Rが、<29>で表すように線分ABをy:(1-y)に内分する点で
あるとすると、<30> r={(1-y)a+yb}/{y+(1-y)}=(1-y)a+yb。
S26 <30>の未知数yを、メネラウスの定理を用いて求めよう。題意に
より、△OABの三頂点O、A、Bを通らない直線Lが、△OABの
辺OA AB,BOまたはその延長と、それぞれ点P、R、Qで交わるので、
メネラウスの定理により、 (PA/OP)(RB/AR)(QO/BQ)=1すなわち
<31> {(1-t)/t}{(1-y)/y}(1/t)==1が成立。ここで、題意による
(PA/OP)=(1-t)/t、(QO/BQ)=1/t、また<29>による(RB/AR)=(1-y)/yを
用いた。メネラウスの定理<31>からyを求めるため、<31>を
変形して{t/(1-t)}(t/1)=(1-y)/y=1/y-1、よって、1/y=t2/(1-t)+1
=(t2-t+1)/(1-t)。ゆえに、<32> y=(1-t)/(t2-t+1)。
S27 rは、<30>に<32>のyを代入して、
<33> r=(1-y)a+yb={1-(1-t)/(t2-t+1)}a+{(1-t)/(t2-t+1)}b
={t2/(t2-t+1)}a+{(1-t)/(t2-t+1)}b。
[2](3)
【記号の定義】
iB:OB方向の単位ベクトル
s:位置ベクトルOS
【要点:ベクトルsは、ベクトルrの、OB方向への正射影であること
を利用】
S31 OB方向の単位ベクトルiBは、題意により <41> iB=b/|b|=b/6。
S32 ベクトルsは、rの、OB方向への正射影であるので、
<42> s=(r・iB)iB [sの大きさは(r・iB)であり、方向は単位ベクトル
iBで与えられる]。よって、<42>のsは、(2)の<25>、<33>で求めた
r、並びに<41>のiBにより、
s=(r・iB)iB=[{at2/(t2-t+1)+b(1-t)/(t2-t+1)}・(b/6)](b/6)
=[{(a・b/6)t2/(t2-t+1)+(b・b/6)(1-t)/(t2-t+1)}](b/6)
=[{(6/6)t2/(t2-t+1)+(62/6)(1-t)/(t2-t+1)}](b/6)
=[{t2+6(1-t)}/(t2-t+1)}](b/6)=(t2-6t+6)b/{6(t2-t+1)}。ここで、
<14>、<17>のa・b=6、<13>、<16>による|b|2=b・b=62を用いた。
[2](3)別解
【記号の定義】
  <43> s=ub:位置ベクトルOSをベクトルbのu倍とおく
u(≠0):スカラー(実数)の未知数
θ=90°:RSとOSのなす角
【要点:<43>の未知数のuを求めるのに、OS⊥RSを利用】
S33 題意によるOS⊥RS(θ=90°)より、ベクトルの内積
<44> OS・RS=|OS||RS|cosθ=|OS||RS|cos90°=0。ここで、
<45> RS=RO+OS=OS-OR=s-r=<43>=ub-r。
S34 直交条件<44>に、<43>、<45>を代入して、
0=OS・RS=s・(s-r)= ub・(ub-r)=ub・ub-ub・r
=u2|b|2-ub・r=u(u|b|2-b・r)。ここで、u≠0より、
<46> u=b・r/|b|2=<28><33>=b・[{t2/(t2-t+1)}a+{(1-t)/(t2-t+1)}b]
/|b|2= [(b・a){t2/(t2-t+1)}+(b・b){(1-t)/(t2-t+1)}]/|b|2
={6t2/(t2-t+1)+62(1-t)/(t2-t+1)}/62={t2+6(1-t)/{6(t2-t+1)}
=(t2-6t+6)/{6(t2-t+1)}。ここで、<14>、<17>のb・a=6、
<13>、<16>による|b|2=b・b=62を用いた。
S35 したがって、<43>のsは、<46>のuを代入して、
<47> s=ub=(t2-6t+6)b/{6(t2-t+1)}。
[2](4)
【要点:<48> OS=|s|=4より、tを求める】
S41 <48>に<47>を代入して、4=|s|=|(t2-6t+6)b/{6(t2-t+1)}|
=|{t2+6(1-t)}/{t2+(1-t)}]||b|/6={t2+6(1-t)}/{t2+(1-t)}。
ここで、題意の<49> 0<t<1によるt2>0、1-t>0、並びに<13>、<16>
の|b|=6を用いた。したがって、4{t2+(1-t)}={t2+6(1-t)}すなわち
0=(4-1)t2+(4-6)(1-t)=3t2+2t-2。ゆえに、
t=[-2±√{22-4×3×(-2)}]/(2×3)=2[-1±√{1-3×(-2)}]
/(2×3)=(-1±√7)/3。ただし、<49>により、t=(-1+√7)/3。

♪●新潟大学 2017年度 前期日程 入試問題 記載例
[5] Ⅲ 関数の増減と極値、曲線の凹凸・変曲点・漸近線、合成微分、
面積計算、置換積分、極値値、偶・奇関数、単調増加関数.
【記号の定義】
exp( ):e( ) <exponential of x>
exponential=〔数式などが〕累乗の指数を含んだ[使った]、
自然対数の底[ネイピア数]を使った[で表された]
  M=1、2、3、…
g(m)=-1/(m+0.5) (題意よりm=1、2、3、…)
( )max:( )の最大値
[5](1)
【要点:合成関数の微分:u=h(x)、y=g(u)=g(h(x))のとき、dy/dx
=(dy/du)(du/dx)=(dg(u)/du)(dh(x)/dx) を利用;例えば、
u=h(x)=1-x2、y=g(u)=exp(u)のとき、dy/dx=(dy/du)(du/dx)=
(dg(u)/du)(dh(x)/dx)=exp(u)(-2x)を利用】
S11 <11> y=f(x)=xexp(1-x2)をxで微分して、<12> f’(x)=exp(1-x2)
  +x(-2x)exp(1-x2)=(1-2x2)exp(1-x2)。さらにxで微分して、
<13> f’’(x)=(-4x)exp(1-x2)+(1-2x2)(-2x)exp(1-x2)
=2x{-2-(1-2x2)}exp(1-x2)=2x(2x2-3)exp(1-x2)。
[5](2)
【要点:f(x)が奇関数(f(-x)=-f(x))で原点対称に留意;極値を調べる
のはf’(x)=0より;変曲点を調べるのはf’ ’(x)=0より;漸近線を
調べるため、題意の条件が使えるようにf(x)を変形】
S21 極値候補のx座標:f’(x)=<12>=(1-2x2)exp(1-x2)=0より、
x=±1/√2。これらのxは相異なるので、極値ありと確定。極値:
f(x=±1/√2)=<11>=(±1/√2)exp{1-(±1/√2)2}
=(±1/√2) exp(1-1/2)=±√(e/2)
すなわちf(x=±√0.5)=±√(0.5e) (複合同順)。
S22 変曲点候補のx座標:f’’(x)=<13>=2x(2x2-3)exp(1-x2)=0より、x=0、
±√(3/2)。これらのxは相異なるので、変曲点ありと確定。変曲点
のy座標: f(x=±√(3/2))=<11>=±√(3/2)exp{1-(±√(3/2))2}=
±√(3/2)exp(1-3/2)=±√{3/(2e)}すなわち
f(x=±√1.5)=±√(1.5/e)}; f(x=0)=<11>=0×exp{1-02}=0
(複合同順)。
S23 題意の条件 lim x → ∞ xexp(-x2)=0を使えるように、f(x)を変形。
x>0の場合、f(x)=xexp(1-x2)=xexp(1)exp(-x2)=e×xexp(-x2)。
したがって、<21> (0<)x→ ∞のとき、f(x)=e×xexp(-x2)→ e×0=0。
x<0(-x>0)の場合、f(x)=xexp(1-x2)=-(-x)exp(1)exp{-(-x)2}
=-e×(-x)exp{-(-x)2}。したがって、<22> (0<)-x→ ∞ (x→ -∞)
のとき、f(x)=-e×(-x)exp{-(-x)2}=-e×0=0。
<21>、<22>より、lim x → ±∞ f(x)=0すなわち漸近線はy軸。
S24 グラフの外形(おおまかにいって横S字形; *:inflection points)
* * *
x -∞ -√1.5 -√0.5 0 √0.5 √1.5 ∞
f’(x) - - - 0 + +  + 0 - -  -
f’’(x) - 0 + + + 0 - - - 0 +
f(x) 0 ⤵ ⤵ ⤵ min ⤴ ⤴ ⤴ max ⤵ ⤵ ⤵ 0
-√(0.5e) √(0.5e)
[5](3)
【要点:まずy=xkのグラフを調べ、次にy=xkとf(x)=xexp(1-x2)の
グラフの関係(交点や大小関係)を調べる;面積Skは積分で求める】
S31 まず,y(x)=xkの関数の奇、偶について:y(-x)=(-x)k=(-1)kxk;
よって、kが奇数のとき、y(-x)=-xk=-y(x)より、yは奇関数
(原点対称);kが偶数のときは、y(-x)=xk=y(x)より、yは偶関数
(y軸対称)。
S32 次に、y(x)=xkのグラフを、kの値で場合分けして、調べよう。
①k=1の場合、y=x、y’=0、y’’=0。よって、奇関数のyは、原点Oを
通る直線で、xの値とともに単調に増加し(単調増加関数)、極値や
変曲点をもたない。なお、x=±1で、y=±1(複合同順)。
S33 ②k=2の場合、y=x2、y’=2x、y’’=0。よって、偶関数のyは、原点を
通る放物線で、原点が極小値を示す。変曲点はもたない。なお、
x=±1で、y=1。
S34 ③k=2M+1(k=3、5、…)の場合、y=x2M+1、y’=(2M+1)x2M≧0、
y’’=2M(2M+1)x2M-1。よって、奇関数のyは単調増加関数で極値を
もたない。原点が変曲点。なお、x=±1で、y=±1(複合同順)。
S35 ④k=2M+2(k=4、6、…)の場合、y=x2M+2、y’=(2M+2)x2M+1、
y’’=(2M+2)(2M+1)x2M≧0。よって、偶関数のyは原点で極小値を示す。
変曲点はもたない。なお、x=±1で、y=1。
S36 次に、面積Skを求めるため、⑪k=2M-1(k=1、3、…)と⑫k=2M(k=2、
4、…)の場合に分けて、y=xkとf(x)=xexp(1-x2)の交点を調べ、
面積を積分によって求めよう。
S37 まず,⑪k=2M-1の場合、奇関数のyは奇関数のf(x)とx=0、±1で
のみ交点をもつ。図を描けば明らかなように、0<x<1では、
x2M-1<xexp(1-x2)。よって、<31> Sk=S2M-1=2∫[0→ 1] {xexp(1-x2)-x2M-1}dx
=2[I-x2M/(2M)] [0→ 1] =2{-0.5(1-e)-1/(2M)}=(e-1)-2/(2M)
=e-1-2/(k+1)。ここで、<32> I=∫xexp(1-x2)dx=-0.5∫exp(z)dz
=-0.5exp(z)=-0.5exp(1-x2)、ただし、z=1-x2、dz=-2xdxを用いた。
S38 次に、⑫k=2Mの場合、偶関数のyは奇関数のf(x)とx=0、1でのみ
交点をもつ。図を描けば明らかなように、0<x<1では、
xk<=xexp(1-x2)。よって、<33> Sk=S2M=∫[0→ 1] {xexp(1-x2)-x2M}dx
=<32>=[I-x2M+1/(2M+1)] [0→ 1] ={-0.5(1-e)-1/(2M+1)}
=0.5(e-1)-1/(2M+1)=0.5(e-1)-1/(k+1)。
[5](4)
【要点:題意より、まず、すべての自然数mに対して7S2mの最大値を
求め、次に、<41> 4S2n-1>7S2mから自然数nの最小値を求める】
S41 まず,<42> 7S2m=<33>=7{0.5(e-1)-1/(2m+1)}=3.5{(e-1)-1/(m+0.5)}。
ここで、直角双曲線関数g(m)=-1/(m+0.5)は、すべてのmすなわち
1≦m<∞において単調増加関数で、最大値は(g)max=g(m→∞)
=lim [m→∞] {-1/(m+0.5)}=0。よって、<42>より、
<43> (7S2m)max=3.5{(e-1)+(g)max}=3.5(e-1)。
S42 次に、<44> 4S2n-1=<31>=4{(e-1)-2/(2n)}=4(e-1)-4/n。よって、
<41>、<44>、<43>より、4(e-1)-4/n>(7S2m)max=3.5(e-1)。したがって、
0.5(e-1)>4/n、n>4/{0.5(e-1)}=8/(e-1)=8/(2.71828-1)≒4.656。
ゆえに、nの最小値は5。

直接/仲介 直接
地域
新潟市 - 中央区 - 小張木
JR越後線 - 白山駅
開催場所 江南高校の裏側徒歩5分 小張木自治会館内 小張木学習クラブ(角地、駐車場有、2階建て)新潟市 中央区 小張木 3丁目9-14
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