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更新2024年3月28日 18:11
作成2024年3月27日 00:30
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updated:♥MAR26/▼MAR9/♣MAR3 ♥▼解説 2024新潟大学 前期 理系数学【1】微積分【2】三角関数 ●小張木学習クラブは、なにかのお役に立てればと、2018年8月25日に開設/手持ちの情報・経験を無料提供/気軽にご連絡下さい。
 ●対象:小中高大学[院]等での学習・受験・作文・プレゼン等なんでも疑問・質問をお持ちのどなたでも
 ●International students & people from different countries are also welcomed and advised in English
 ●費用:無料(教材等各自でご用意を/教材相談OK)
 ●連絡先:E-mail/Tel 080-3520-7841[Line可] /ご希望の内容・時間・場所等のご連絡を(返信があるまで)
 ●場所・時間:ご相談の上、希望者の多い順に決定/例えば ▲小張木自治会館(江南高校裏へ徒歩5分/角地/駐車場有/2階建/2階和室[8+10]畳/自治会により会場費免除/〒950-0942 新潟県新潟市中央区小張木3丁目9-14 / https://www.mapion.co.jp/phonebook/M13007/15103/21530251008
▲県立図書館(火~金9:30~19:00/土・日・祝9:30~17:00) ▲鳥屋野地区公民館(月~土9:00~21:30/日・祝9:00~17:30) ▲りゅーとぴあ(新潟市民芸術文化会館/9~22時/第2・4月曜休) ▲NEXT21(新潟市中央区西堀通6番町866番地/8時半~21時) ▲遠方(県立図書館から5km程度以上)では交通費実費をお願い/上記の時間等は変更された可能性あり
 ●内容:例えば【学習/受験】《基礎》数学(算数)/物理・化学(理科)/英語/国語/社会/線形代数/微分積分/ベクトル解析等;《専門》流体力学・流体工学 特に 回転流体力学/層流乱流遷移/流体中の微粒子運動/地球流体力学(大気と海洋の流れ) 【大学[院]生活】国立大学(工学系)の具体的な紹介:例えば、入試室・会場での様子/奨学金/授業料免除/カリキュラム・シラバス/単位修得/留年・休学/ 成績評価GPA(Grade Point Average)・GPT(Grade Point Total)への対応/修士・博士課程への進学/卒論・修論・博士論文等の作成・発表 【その他(初心者向け)】科学論文の書き方、口頭発表法(プレゼン)、インターネット・パソコンソフト(ワード、パワーポイント、一太郎等)の使い方(パソコン等をご持参)
 ●学習の進め方:質問時に問題と解答途中までの要点と質問内容の詳細の提示/質問がない場合は、理解度の確認のため学習内容の要点の提示/最後に学習の自己評価(家族による評価も)
 ●助言方針:公式とかの暗記は最小限に、それからいつでもすばやく展開・導出できるよう助言/答の導出過程を重視/ヒントを与えて自ら答に到達できるよう助言
 ●ここでの解説(図等の省略、色なし、文字化けあり)や新潟県立高校(2022/2019~2015)/共通テスト(まだ2022の一部)・新潟大学(2020~2013)・東京大学(2021-2022文系)の入試問題の数学解説などのword file(図付き、色付き、文字化けなし)あるいは一太郎 file(Wordから変換のため文字化け有)を無料配信/希望者あるいはご質問等がおありの方はご連絡を

●最近の学習内容・解説発信等の履歴・お勧めサイト[公開Web-site例のURL/linkや題目]
 
 ♥◆【問題】2024新潟大学 前期 【理系数学】
【1】 f(x)=e**x/(e**x+1)とする。曲線C:y=f(x)の点(0,1/2)における接線をℓとする。次の問いに答えよ。[表記上の注意:** はべき乗を表す]
(1) ∫f(x)dxを求めよ。
(2) 接線ℓの方程式を求めよ。
(3) 曲線Cと接線ℓは点(0,1/2)以外に共有点を持たないことを示せ。
(4) 曲線C,接線ℓ,y軸および直線x=1で囲まれる図形の面積を求めよ。

 ◆【ヒント】2024新潟大学 前期 【理系数学】
 H11【1】(1) 被積分関数f(x)の特徴として、分子は分母を微分したもの。被積分関数がややこしいときは、置き換えが有効。
 H12【1】(2) 曲線<curve[kə́ːv]>【C】:y=e**x/(e**x+1)のグラフ<graph[grǽf]>を、分母、分子の各指数関数から考えるとよい。
 H13【1】(3) Cと ℓの連立方程式の解が(0,1/2)しかないことを示せばよい。
 H14【1】(4) 0≦x≦1におけるCと ℓの上下関係に注意して、その差の、<x=0→1>の定積分<definite[défənət] integral[íntigrəl]>を求めればよい。

 ◆【解説】2024新潟大学 前期 【理系数学】
 S11【1】(1) ★ <110> 【不定積分<indefinite[indéfənit] integral[íntigrəl]> I】=∫f(x)dx=ln(e**x+1)+【i.c.】 の導出★ ここで、【 】は定義や補足説明用;【i.c.】は積分定数<integration[ìnṭəgréɪʃən] constant[UK kɔ́nstənt] / constant of integration>;ln[ ]はeを底とする自然対数<natural[nǽtʃərəl] logarithm[lɔ́gərìðəm]>log<e>[ ]。
被積分関数f(x)の分子は分母を微分したもの。そこで、分母を
<111> 【u(x)】=e**x+1 (>1)とおくと <112> du/dx=e**x (>0) であるので、<113> I=∫f(x)dx=∫{e**x/(e**x+1)}dx=∫{(du/dx)/u}dx
=∫(1/u)du=ln(u)+i.c.=ln(e**x+1)+i.c.【→<110>】。

 S12【1】(2) ★<120> 曲線<curve[kə́ːv]> 【C】の接線<tangent[tǽndʒənt] [line[láin]]> ℓ:y=(1/4)x+1/2 の導出★
まず、y=f(x)の分母、分子を <121> 【u(x)】=e**x+1>1、【v(x)】=e**x>0 とおいて、<122> 曲線C:y=f(x)=e**x/(e**x+1)=v(x)/u(x) のグラフ<graph[grǽf]>を考えてみよう。分子のv(x)は、指数関数で
<123> 0<v(x→ -∞)→ 0、v(x=0)=1、v(x→∞)→∞ の値をとる単調増加関数。分母のu(x)は、v(x)をy方向に +1だけshiftした指数関数。よって、y=v/uのCは0<y<1の範囲で横に広がった曲線。したがって、Cの接線ℓはy軸に非平行。かつ ℓが点(0,1/2)を通ることから、
<124> ℓ:y-1/2=f′(x=0)(x-0)。ここで、接線の傾き=f′(x=0)は以下のように求められる。まず、<122>を変形して
<125> f(x)=e**x/(e**x+1)=1-1/(e**x+1)。よって、
<126> f′(x)=0-{0-(e**x)}/(e**x+1)**2=(e**x)/(e**x+1)**2。ゆえに、
<127> f′(x=0)=(e**0)/(e**0+1)**2=1/4。したがって、<120>が得られる。

 S13【1】(3) ★Cと ℓが点(0,1/2)以外で共有点をもたない証明★
Cと ℓの連立方程式 <131> f(x)=(1/4)x+1/2 の解が(0,1/2)しかないことを示すため、<132> 【w(x)】={(1/4)x+1/2}-f(x) のgraphを考え、w(x)=0となる点が(0,1/2)しかないことを示そう。まず、
<133> w′(x)={(1/4)x+1/2}′ -f′(x)=1/4-(e**x)/(e**x+1)**2【←<126>】
={(e**x+1)**2-4(e**x)}/{4(e**x+1)**2}
=(e**x-1)**2/{4(e**x+1)**2}≧0(x=0で等号)。ここで、
<134> (e**x-1)**2≧0(x=0で等号)、(e**x+1)**2>1 に注意。次に、w(x)の代表的な値として、<135> w(x→-∞)→{(1/4)×(-∞)+1/2}-f(x→-∞)→ -∞、 w(x=0)={(1/4)×0+1/2}- f(x=0)=1/2-1/2=0、
w(x→∞)→{(1/4)×∞+1/2}-f(x→∞)→∞。ここで、
<136> f(x→-∞)→1-1/{e**(-∞)+1}→1-1=0、
f(x→∞)→1-1/(e**∞+1)→1 に注意。したがって、w(x)の増減表は下の表13のようになり、w(x)が-∞から∞に向かう単調増加関数で、w(x)=0となる点(x,y)は(0,1/2)のみであることは明らか。
 
 表13 w(x)の増減表
 x -∞ 0 ∞
w′(x) + 0 +
w(x) -∞ ↗  0 ↗ ∞
y=f(x) 0 1/2 1

 S14【1】(4) ★曲線C,接線ℓ,y軸および直線x=1で囲まれる図形の面積<140> S=5/8-ln{(e+1)/2} の導出★前問の【1】(3)により、0≦x≦1において
<141> w(x)={(1/4)x+1/2}-f(x)≧1/2>0 は明らか。よって、求める面積は、<142> S=∫<x=0→1> w(x)dx=∫<x=0→1> [{(1/4)x+1/2}-f(x)]dx
=[{(1/4)(x**2)/2+(1/2)x}- ln(e**x+1)]<x=0→1>
={(1/4)×(1**2-0**2)/2+(1/2)×(1-0)}-{ ln(e**1+1)-ln(e**0+1)}
=(1/4)×(1/2)+1/2-{ ln(e+1)-ln2}=5/8-ln{(e+1)/2}【→<140>】。

 ◆【問題】2024新潟大学 前期 【理系数学】
【2】座標平面の原点をOとし,3点A(-2,0),B(cosθ,sinθ),
C(3cos 3θ,3sin θ)をとる。ただし,0≦θ≦2π/3とする。次の問いに答えよ。
(1) AB**2とBC**2をcosθを用いて表せ。
(2) 0≦θ≦2π/3のとき,AB**2+BC**2の最大値と最小値を求めよ。また,そのときの点Bと点Cの座標をそれぞれ求めよ。

 ◆【ヒント】2024新潟大学 前期 【理系数学】
 H21【2】(1) 三角関数の公式(加法定理、2倍角の公式)が利用できる。
なお、2倍角の公式を忘れたら、導出できるように。以下はド・モアブルの定理<De Moivre's theorem[θíːərəm]>を用いた導出例。z=r(cosθ+isinθ)のとき、<H211> z**n=(r**n)(cos nθ+isin nθ)。ここで、nは任意の整数(負の整数,0,正の整数)、iは虚数単位<imaginary[imǽdʒənèri] unit[júːnit]>(i**2=-1)。<H211>は、r=1、n=1,2,…(自然数)のとき、二項定理により次のようになる。
<H212> (cos nθ+isin nθ)=(cosθ+isinθ)**n
=Σ<k=0~n>C(n,k){(cosθ)**(n-k)}{(isinθ)**k}
=C(n,0){(cosθ)**n}{(isinθ)**0}
+C(n,1){(cosθ)**(n-1)}{(isinθ)**1}
+C(n,2){(cosθ)**(n-2)}{(isinθ)**2}
+C(n,3){(cosθ)**(n-3)}{(isinθ)**3}
+ …
+C(n,n){(cosθ)**0}{(isinθ)**n}。
ここで、2倍角の公式は、n=2として
<H213> (cos 2θ+isin 2θ)=(cosθ+isinθ)**2
=C(2,0)(cosθ)**2+C(2,1)(cosθ)(isinθ)+C(2,2)(isinθ)**2
=1×(cosθ)**2+2×(cosθ)(isinθ)+1×(-1)×(sinθ)**2
={(cosθ)**2-(sinθ)**2}+i{2(cosθ)(sinθ)}。すなわち、
<H214> cos 2θ=(cosθ)**2-(sinθ)**2。
<H215> sin 2θ=2(cosθ)(sinθ)。

 H22【2】(2) AB**2+BC**2は、前問【2】(1)の結果を用いることにより、
cosθの2次関数であることが分かる。解答に必要となる3倍角の公式は、前問の<H212>でn=3として
<H221> (cos 3θ+isin 3θ)=(cosθ+isinθ)**3
=C(3,0)(cosθ)**3+C(3,1){(cosθ)**2}(isinθ)
+C(3,2)(cosθ)(isinθ)**2+C(3,3)(isinθ)**3
=1×(cosθ)**3+3×{1-(sin)**2}(isinθ)
+3×(cosθ)×(-1)×{1-(cosθ)**2}+1×(-1)×i(sinθ)**3
={4(cosθ)**3-3cosθ}+i{3sinθ-4(sinθ)**3}。すなわち、
<H222> cos 3θ=4(cosθ)**3-3cosθ。覚え方の例:よい子参上してみこし引く;横洲さんが引くみこし;洋子さんマザコン;ヨーコさんマイ参考書。
<H223> sin 3θ=3sinθ-4(sinθ)**3。覚え方の例:3歳ではまり4歳で最強;サンシャイン毎夜参上;サンシャイン良美;サンシャイン引いて夜風が身に染みる;サンシャイン引いて司祭が参上。

 ◆【解説】2024新潟大学 前期 【理系数学】
 S21【2】(1) ★ <210> AB**2=5+4cosθ、BC**2=16-12(cosθ)**2 の導出★ A(-2,0),B(cosθ,sinθ),C(3cos 3θ,3sin 3θ)により、まず
<211> AB**2={cosθ-(-2)}**2+(sinθ-0)**2=(cosθ+2)**2+(sinθ)**2
={(cosθ)**2+4cosθ+4}+(sinθ)**2=1+4cosθ+4=5+4cosθ。次に、
<212> BC**2=(3cos 3θ-cosθ)**2+(3sin 3θ-sinθ)**2
=9{(cos 3θ)**2+(sin 3θ)**2}-6{(cos 3θ)cosθ+(sin 3θ)sinθ}
+{(cosθ)**2+(sinθ)**2}=9×1-6cos{(3θ)-θ)}+1【←加法定理】
=10-6cos 2θ=10-6×{2(cosθ)**2-1}【←2倍角の公式】=16-12(cosθ)**2。
なお、【 】は定義や補足説明用。
 
 S22【2】(2) ★AB**2+BC**2=【f】について、最大値【max】=64/3、最小値【min】=13;maxをとるときの座標【Bmax】(1/6,√(35)/6)、【Cmax】(-13/9,-4√(35)/9);【min】をとるときの座標【Bmin】(1,0)、【Cmin】(3,0) の導出★
前問【2】(1)の結果を用いると、
<221> 【f】= AB**2+BC**2=(5+4cosθ)+{16-12(cosθ)**2}
=【f(x)】=-12x**2+4x+21=-12[{x-(4/12)/2)}**2-(1/6)**2]+21
=-12(x-1/6)**2+【12/(6×6)+21=1/3+21=(1+3×21)/3】
=-12(x-1/6)**2+64/3。ここで、
<222> cosθ=【x】:-1/2≦x≦1 for 0≦θ≦2π/3。すなわち、f(x)はx=1/6を軸とする上に凸の放物線を示す。ここで、<H221>により、
-1/2:1/6:1=-3/6:1/6:6/6=(1-4)/6:1/6:(1+5)/6に注意すれば、以下の結果が得られる。
<223> 【max】=f(x=1/6)=-12(1/6-1/6)**2+64/3=64/3。
<224> 【Bmax for x=1/6】(cosθ,sinθ)=(x,√(1-x**2))
=(1/6,√【{1-(1/6)**2}=(1-36)/36】)=(1/6,√(35)/6)。
<225> 【Cmax for x=1/6】(3cos 3θ,3sin 3θ)
=(3×{4(cosθ)**3-3cosθ}【←よい子参上してみこし引く】,
3×{3sinθ-4(sinθ)**3})【←3歳ではまり4歳で最強】
=【<224>→】(3×{4×(1/6)**3-3×(1/6)},3×{3×(√(35)/6)
-4×(√(35)/6)**3})
=(3×(1/6)×{4×(1/6)**2-3},3×(√(35)/6)×{3-4(√(35)/6)**2})
=( (1/2)×【(4-3×36)=104】/36,
(√(35)/2)×{【(3×36-4×35)=-32】}/36})
=(-104/(2×36),-32√(35)/(2×36))=(-13/9,-4√(35)/9)
<226> 【min】=f(x=1)=-12x**2+4x+21=-12+4+21=13。
<227> 【Bmin for x=1】(cosθ,sinθ)=(x,√(1-x**2))
=(1,√(1-1))=(1,0)。
<228> 【Cmin for x=1】(3cos 3θ,3sin 3θ)
=(3×{4(cosθ)**3-3cosθ},3×{3sinθ-4(sinθ)**3})
=【<227>→】(3×{4×1**3-3×1},3×{3×0-4×0**3})=(3,0)。

 【《文献》】
★《1》 新潟大学 2024前期日程 入試問題と解答例 代々木ゼミナール https://sokuho.yozemi.ac.jp>sokuho>k_mondaitokaitou
★《2》 入試問題と解答例(2024年解答速報)代々木ゼミナール
https://sokuho.yozemi.ac.jp/sokuho/
国公立・私立大学の2024年度入試問題と解答例

♥◆143/2024.3.15 ●【社会人1名】証券アナリスト試験に必要な数学基礎
▼◆【問題・解説】2023新潟県高校入試【数学】【5】空間図形 16点 10.9%
♠◆2024.3.3 解説 2023新潟県高校入試【数学】【3】関数【4】整数
◆2024.2.16 解説 2023新潟県高校入試【数学】【2】小問集合2 18点 39.2%
◆2023.8.28 解説 2022新潟県公立高入試【数学】【4】平面図形、【5】空間図形
[図等の省略なしは以下を参照 令和4(2022)年度 新潟県公立高校入試【数学】問題、正答表、配点 http://homepage1.canvas.ne.jp/ynaka/R4PDF/15niigata.pdf ]
◆2023.4.2 ●解説 2022 新潟県公立高入試【数学】【1】(1)~(8) 小問集合1
◆2023.1.13 2022 ●共通テスト数学I・A【必答問題・解説】【1】[1](1)~(2)/[2]/[3](1)~(2) 【2】[1](1)~(4)

直接/仲介 直接
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